GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V GIS

Jaromír FAJT / A02159 /

Fakulta aplikovaných věd, ZČU Plzeň KMA, obor Gem, 3.ročník

1. Osnova
2. Úvod
3. Geometrické transformace souřadnic v rovině
4. Geometrické transformace souřadnic v prostoru
5. Transformace souřadnic v ArcGIS
6. Závěr
7. Použitá literatura a internetové zdroje

1. Osnova

  1. Úvod

    1. Geometrické transformace souřadnic v rovině

    2. Geometrické transformace souřadnic v prostoru

    3. Transformace souřadnic v ArcGIS

  2. Závěr

2. Úvod

Transformace souřadnic je obecně proces, při kterém dochází k přechodu od jedné soustavy souřadnic ke druhé. Tento přechod se dá vyjádřit pomocí transformačních rovnic. Souboru transformačních rovnic říkáme transformační klíč. Při transformaci tedy uvažujeme dvě soustavy souřadnic, mezi nimiž hledáme vzájemný vztah.

Geometrické transformace (též numerické transformace ) nevyžadují znalost zobrazovacích rovnic kartografických transformací do původního a nového souřadnicového systému. Jsou založeny na poznání přesné polohy vybraných bodů - identických bodů (někdy se jim také říká vlícovací body ), jejichž polohu známe v obou souřadnicových systémech.

Geometrické transformace se používaly v minulosti při klasickém ručním překreslování map, jakož i při zpracování leteckých fotografií. Prakticky všechny metody geometrických korekcí leteckých a družicových snímků jsou založeny na výpočtu parametrů geometrických transformací z polohy pozemních kontrolních bodů.

3. Geometrické transformace souřadnic v rovině

V praktických aplikacích GIS se používají dvě metody - lineární konformní transformace a afinní (polynomická) transformace .

Lineární konformní i afinní transformace v sobě zahrnují tři základní operace :

  • Posunutí počátku

  • Otočení souřadnicových os o určitý úhel

  • Změna měřítka

Vycházejí přitom z předpokladu, že koeficienty charakterizující tyto operace jsou konstantní v celé transformované oblasti. Někdy se tyto dvě transformace označují též jako transformace přímé .

Afinní a konformní transformace se liší jen v jednom bodě, a to ve způsobu změny měřítka. Zatímco konformní transformace předpokládá, že změna měřítka je ve všech směrech stejná, afinní transformace zavádí odlišnou změnu měřítka (měřítkový faktor) ve směru osy x a y. Této vlastnosti lze využít například v případě, že je nutné eliminovat ovlivnění souřadnicového systému některými vedlejšími faktory, jako je rozdílná kontrakce papírových map v různých směrech (projevuje se především při manuální digitalizaci papírových předloh).

  • Lineární konformní transformace (LKT) je vhodná pro transformace mezi souřadnicovými systémy, které jsou navzájem posunuty, pootočeny a ve směrech obou souřadnicových os mají ve stejném poměru změněno měřítko.

    Zaveďme označení:

    (x,y) ... souřadnice soustavy první (původní souř.)

    (X,Y) ... souřadnice soustavy druhé (transformované souř.)

    β ... úhel rotace, pootočení

    R ... matice rotace

    q ... měřítko,

    (a,b) ... posun

    Otočíme-li souřadnicové osy o úhel β, posuneme-li o vektor (a,b) a vynásobíme matici rotace měřítkem q změní se souřadnice (x,y) na souřadnice (X,Y) podle transformačních rovnic:

    Matice rotace je

    Jestliže tedy q = 1, jde o shodnost,

    jestliže q ≠ 1, jde o podobnost , zpravidla q je přibližně 1

    K výpočtu koeficientů (q, β, a, b) shodnostní či podobnostní transformace (tzv. „klíče“) potřebujeme znát souřadnice některých bodů v obou soustavách. K výpočtu klíče podobnostní transformace potřebujeme znát souřadnice dvou dvojic identických bodů (X1,Y1), (X2,Y2) a původní (x1,y1), (x2, y2) - 4 souřadnice .

  • Afinní transformace (speciální případ polynomické, polynomická prvního řádu)

    Geometricky se tedy jedná o posun, rotaci a změnu měřítka každé souřadnicové osy původního souřadnicového systému.

    Obrázek ukazuje, jak tato transformace může deformovat vstupní data. Je vidět že čtverec se nám vůči počátku souřadnicového systému posunul a pootočil. Navíc se ještě zvětšil a zkosil.

    Minimálně jsou potřeba 3 dvojice identických bodů . Afinní transformace se v praxi běžně používá při transformaci souřadnicového systému digitizéru do souřadnicového systému mapy při digitalizaci.

    Transformační vztah má tvar:

    kde q=(qx,qy)

  • Polynomické transformace druhého a vyšších řádů

    Pokud má deformace souřadnicové soustavy transformované mapy, snímku nebo jiného zdroje komplikovanější průběh anebo lokální charakter, je výhodnější použít polynomickou transformaci vyššího řádu.

    Polynomická transformace n-tého řádu má tvar:

    Koeficienty transformačních rovnic se odhadnou metodou nejmenších čtverců.

    Pro výpočet koeficientů polynomické transformace n-tého řádu je potřebných alespoň

    dvojic identických bodů.

    Speciálně pro afinní transformaci → n=1 jsou potřebné alespoň tři dvojice identických bodů . V případě polynomu druhého řádu je zapotřebí znát souřadnice minimálně šesti identických bodů , při použití polynomu třetího řádu pak deseti identických bodů .

    Nedoporučuje se však používat minimální počet bodů , ale přidat další body, které zmenší polohovou chybu.

    V praxi se používají pouze řády 2 a 3, jelikož vyšší řády nepřinášejí podstatnější zvýšení přesnosti, spíše naopak.

    Náš čtverec deformují polynomické transformace vyšších řádů obdobným způsobem, jako afinní transformace. Jeho hranice v cílové soustavě pak tvoří křivky. Zatímco u prvního řádu to byly úsečky, u druhého řádu se jedná o části parabol, …

  • Mezi další používané transformace patří kolineární ( projektivní ), která je známa především z fotogrammetrie. Jde o transformaci, kdy obraz bodu je pomocí středového promítaní zobrazen z jedné roviny na druhou.

    Transformační vztah má tvar:

    Tato transformace není konformní, měřítko není konstantní, zachovává tzv. dvojpoměr v rámci čtveřice bodů ležících na přímce (viz. obrázek)

    Přímky se zobrazují opět jako přímky. Přímky rovnoběžné v originále po transformaci směřují do společného bodu (úběžníku).

    Pro určení osmi neznámých koeficientů (a,b,c,d,e,f,g,h) je potřeba nejméně čtyř identických bodů v obou soustavách.

U všech základních typů transformací jsme si řekli, kolik mají parametrů, tedy kolik hodnot musíme zadat. U transformace se ale obvykle používá více referenčních bodů, hodnoty koeficientů se pak vypočtou metodou nejmenších čtverců, kde se minimalizuje suma rozdílů v poloze mezi souřadnicemi transformovaných bodů.

Helmertova transformace

Máme-li tedy transformační klíč, vypočtený z identických bodů první soustavy (xi,yi) a druhé soustavy (Xi,Yi). Jestliže převedeme pomocí tohoto klíče body (xi,yi) z prvé do druhé soustavy, nedostaneme obecně souřadnice (Xi,Yi), ale souřadnice (Xi´,Yi´).

Označme

a můžeme napsat známou podmínku MNČ:

Helmertova transformace je tedy lineární konformní transformace s vyrovnáním koeficientů podle MNČ.

Jako střední rozdíly souřadnic a střední polohová chyba se uvádějí vzorce:

kde n je počet identických bodů

Vedle požadavku na minimální počet identických bodů je pro správné stanovení koeficientů transformací důležité splnit také požadavek na co nejrovnoměrnější rozmístění těchto bodů po ploše transformované oblasti. Polynomické transformace druhého a vyšších řádů mají tendeci „ utíkat do nekonečna “ mimo území ohraničené identickými body a mohou způsobit nežádoucí deformace. Dvojice identických bodů je třeba vybírat co nejblíže k okrajům transformovaného území a přesnost transformace zpřesnit body, nacházející se uvnitř území. Pokud je to možné, nakonec se doplní několik bodů mimo území, které „ zachytí “ transformaci, aby neměnila prudce průběh.

4. Geometrické transformace souřadnic v prostoru

  • Lineární konformní transformace v prostoru - podobnostní

    Zaveďme následující označení:

    Při této transformaci se tedy uplatní tři rotace, tři posuny prostorového útvaru a jedno délkové měřítko, celkem sedm parametrů .

    Transformaci mezi soustavami můžeme zapsat rovnicí:

    kde matici rotace R vyjádříme rovnicí

    Po roznásobení vychází

    Zjednodušení transformační matice

    Při těchto výpočtech jde zpravidla o zjišťování malých zkreslení, a úhly rotací budou rovněž velmi malé v řádu vteřin [5].

    Proto můžeme matici rotace linearizovat – goniometrické funkce rozvedeme do Taylorovy řady a ponecháme pouze lineární členy. Můžeme položit

    • Lineární konformní transformaci v prostoru s vyrovnáním koeficientů (nadbytečné množství identických bodů) podle MNČ se říká Helmertova transformace v prostoru nebo také 7-prvková Helmertova transformace .

      Jestliže transformujeme identické body, z nichž byly vyrovnáním vypočteny koeficienty rovnic dostaneme obecně jiné souřadnice: X´, Y´, Z´.

      Vypočteme rozdíly odpovídajících souřadnic u identických bodů (půjde prakticky vždy o malé hodnoty) podle rovnice

      Jestliže transformujeme další body, máme možnost provést tzv. Jungovu transformaci ( „ dotransformaci “) podle rovnic (podobně v rovině)

      Souřadnice po transformaci soustavy 1. do soustavy 2. a po „ dotransformaci “ pak budou:

      • Identické body si po této dvoustupňovité transformaci ponechají původní souřadnice 2.soustavy

      • Transformované body:

5. Transformace souřadnic v ArcGIS

Aplikace systému ArcGIS umožňují pracovat s daty v souřadnicových systémech používaných v naší republice, tedy S-JTSK, S-42 a WGS84.

  1. Abychom mohli v systému ArcGIS kombinovat datové sady pořízené v různých souřadnicových systémech, je třeba tyto datové sady prostorově umístit.

    A to se provede:

    • V Aplikaci ArcCatalog vybereme příslušnou datovou sadu

    • Ve vlastnostech datové sady vybereme v záložce Pole hodnotu Shape a té přiřadíme příslušný souřadnicový systém:

      • S-JTSK (záporné souřadnice): Vybrat / Projected Coordinate Systems / National Grids / S-JTSK Krovak EastNorth.prj;

      • S-42 (3. pás): Vybrat / Projected Coordinate Systems / Gauss Kruger / Pulkovo 1942 / Pulkovo 1942 GK Zone 3.prj;

      • WGS-84 (zeměpisné souřadnice): Vybrat / Geographic Coordinate Systems / World / WGS 1984.prj;

  2. Máme-li datové sady prostorově umístěné, můžeme je v aplikaci ArcGIS (přesněji řečeno ArcMap) transformovat v reálném čase, tzv. on-the-fly transformace, která umožňuje vkládat do jednoho datového rámce datové sady v různých souřadnicových systémech. Pro tento účel je automaticky nastavena transformace, která má vzhledem k požadované rychlosti zobrazování nejmenší výpočetní nároky. Dostaneme data s přesností cca 60-80m.

    Pokud potřebujeme data zobrazovat přesněji i za cenu snížení rychlosti jejich zobrazování zpřesníme parametry transformačních rovnic buď ručně nebo pomocí definičního souboru GEOGTRAN, který najdeme na internetových stránkách www.arcdata.cz v sekci Podpora uživatelů / Tipy, triky / Transformace souřadnicových systémů.

    Soubor obsahuje parametry transformací mezi souřadnicovým systémem JTSK a dalšími dvěma nejpoužívanějšími systémy v ČR: S-42 a UTM (WGS84). Ukázka souboru pro transformaci z S-JTSK

    Pro transformace do S-JTSK se použijí záporné hodnoty koeficientů (obdobně u ostatních transformací).

    Aby mohl být soubor GEOGTRAN použit, je nutné provést následující kroky:

    • přidat systémovou proměnou PEOBJEDITHOME a nastavit ji tak, aby ukazovala do libovolného adresáře, např: C:\arcgis

    • do tohoto adresáře zkopírovat soubor GEOGTRAN (bez přípony!)

      S tímto nastavením může on-the-fly transformaci v aplikaci ArcMap zpřesnit tak, že ve vlastnostech datového rámce, v záložce Souřadnicový systém nastavíme příslušnou transformaci poklepáním na tlačítko Transformace.

      Kombinujeme-li např. data ze souřadnicového systému S-JTSK a S-42 a datový rámec je v systému S-JTSK, pak by takové nastavení mělo vypadat tak, jak je uvedeno na obrázku.

      Při empirickém zjišťování přesnosti těchto transformací se odchylky v poloze na území ČR pohybovaly okolo 1 až 3 metrů. (čerpáno z článku)

  3. Pokud potřebujeme jednorázově transformovat data z jednoho souřadnicového systému do druhého, použijeme aplikaci ArcToolbox .

    Jak vypadá postup transformace v aplikaci ArcToolbox, si ukážeme na příkladě transformace z S-42 do S-JTSK:

    Nejprve vybereme průvodce Převod souřadnicového systému....

    Vybereme jedny nebo více zdrojových dat (shapefile nebo geodatabase) v souřadnicovém systému S-42. Předpokladem je, že každá datová sada, kterou chceme transformovat, má předem definováno, v jakém souřadnicovém systému je (tzv. ,,prostorové umístění`` - Spatial Reference, viz první bod).

    Dále zadáme cílovou datovou sadu nebo adresář, do kterého se mají data transformovat. Poté musíme nastavit cílový souřadnicový systém (S-JTSK).

    Máme-li nastaven cílový souřadnicový systém, musíme ještě v dalším dialogovém okně zadat, jaká transformace se má použít. Po kliknutí na tlačítko " Nastavit transformaci " se otevře dialogové okno, kde budeme mít k dispozici výběr transformací, které jsou relevantní pro námi transformované datové sady.

    V našem příkladě tedy jen potvrdíme přednastavenou transformaci ,,S-42 do S-JTSK`` namísto toho, abychom zdlouhavě ručně zadávali parametry transformace z tabulky tak, jak by tomu bylo, kdybychom nepoužívali soubor GEOGTRAN s přednastavenými koeficienty.

    Bude-li se po potvrzení typu transformace panáček v levé části dialogového okna usmívat, pak je vše v pořádku a můžeme proces transformace spustit.

    Díky tomu, že jsme použili soubor GEOGTRAN se práce v aplikaci ArcToolbox zrychlí na:

    • Vybrat vstupní datovou sadu

    • Zadat název výstupní datové sady

    • Zvolit, do jakého souřadnicového systému chceme data transformovat a jak

Na závěr bych se zmínil o aplikaci, která umožňuje transformovat souřadnice bodů mezi souřadnicovými systémy S-JTSK, S-42 a UTM (WGS84) se střední polohovou chybou cca 3 metry. Nachází se na internetové stránce www.arcdata.cz v sekci Podpora uživatelů / Tipy, triky / Transformace souřadnicových systémů pod odkazem „ interaktivní transformace “, kterou si můžeme stáhnout na počítač ve formátu MS Excel.

6. Závěr

Potřeba těchto transformací vyvstala právě s příchodem geografických informačních systémů, které začaly kombinovat mapy získávané z různých zdrojů a velice často vytvořené pomocí různých kartografických zobrazení. V takovém případě nezbývá než všechny mapy přetransformovat do jediného zobrazení s jediným rovinným kartézským souřadnicovým systémem - v našich podmínkách často potřebná transformace S-JTSK ← → S-42. Význam těchto transformací roste přímo úměrně s velikostí zpracovávaného území.

Vzhledem k tomu, že právě tyto transformace mohou výrazně ovlivnit kvalitu výsledných produktů GISů, je nezbytné věnovat jim náležitou pozornost. Zvláště pak v případech, kdy dochází k vícenásobným transformacím. Při nich dochází ke kumulaci chyb, ztrátě prostorové přesnosti a může dojít i k ovlivnění přesnosti atributových dat.

Obecně tyto transformace nevedou ke „ zvyšování “ prostorové přesnosti a prostorového rozlišení.

7. Použitá literatura a internetové zdroje

[1] Cimbálník, M. - Mervart, L. Vyšší geodézie 1. ČVUT Praha, 1996
[2] Jedlička, K. Úvod do GIS - Přednáškové texty, ZČU Plzeň
[3] Rapant, P. Úvod do geografických informačních systémů. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2002
[4] Tuček, J. Geografické informační systémy, principy a praxe, Computer Press 1998
[5] Veverka, B. Souřadnicové transformace v GISech a digitální kartografii. ČVUT Praha, 2001. Dostupné z: http://gis.zcu.cz/kartografie/konference2001/sbornik/veverka/veverka-referat.htm
[6] http://www.arcdata.cz/ - Transformace v ArcGIS
[7] http://athena.fsv.cvut.cz/VG11.2001/poznamky1_transformace/poznamky1_transformace.html