6.1. Kuželová zobrazení jednoduchá

! Podrobné odvození zobrazovacích rovnic kuželových zobrazení

6.1.1. Společné vlastnosti

Způsob zobrazení při pohledu na obraz geografické sítě připomíná rozvinutou kuželovou plochu – proto kuželová. Žádná ze zobrazení však nelze odvodit geometrickou cestou, jako je tomu např. u projekcí.

Jsou vhodná pro území, která jsou na glóbu rozložena podél vedlejších kružnic, např. kulové pásy s menší šířkou. Podél základní rovnoběžky dosahují malých deformací a jsou užívána hlavně pro mapy menších měřítek zejména v obecné poloze (příčná poloha je nevhodná, v těchto případech se raději volí zobrazení válcová). Naopak zcela nevhodná jsou tato zobrazení pro mapy celého světa v souvislém podání (protější pólové obrazy, změny zkreslení).

Obrazem poledníků je svazek přímek o středu V´ (obraz vrcholu kužele). Obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice opsané středu V´, základní rovnoběžka má poloměr r₀. Póly (tzv. singulárními body: U = ± 90°, l Î á0°; 360°ñ) se zobrazí jako kruhový oblouk o poloměru r = f(± 90°), e = 0° ¸ n.360°.

Zobrazení jsou ortogonální, tzn. že obrazy poledníků a rovnoběžek jsou na sebe kolmé. Hlavní směry jsou tudíž právě ve směru poledníků a rovnoběžek.

Obr. 6.1 Kuželová zobrazení

Zobrazovací rovnice

Zobrazovací rovnice mohou také obsahovat poloměr základní rovnoběžky:

Konkrétní zobrazení dostaneme určením funkce F(U₀ - U) a volbou konstant r₀ a n. Ty volíme podle způsobu přiřazení kuželové plochy - zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou nebo se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami (dále sečné, tečné, pól zobrazen jako bod atd.).

Vzorce pro výpočet zkreslení:

Ekvideformáty kuželových zobrazení jsou zemské rovnoběžky (v jiné než normální poloze jsou to kartografické rovnoběžky).

6.1.2. Jednotlivá zobrazení

6.1.2.1. Ekvivalentní zobrazení

Tato zobrazení lze odvodit elementární cestou (viz obr. 6.2) a to za podmínky, že musí dojít k rovnosti obsahu kulové výseče P₁ a obsahu kuželové výseče P₂.

Obr. 6.2 Kuželové zobrazení ekvivalentní

Při klasickém postupu odvození zobrazovacích rovnic ekvivalentních kuželových zobrazení budeme vycházet z podmínky ekvivalence:

Vyřešením této rovnice dostáváme obecnou podobu zobrazovacích rovnic:

Volba konstant r₀, n

a)     s jednou nezkreslenou rovnoběžkou U₀

Vyřešením této podmínky dostaneme následující konstanty r₀ a n pro ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou:

Můžeme si představit, že se jedná o tečný kužel, kde je tečnou rovnoběžkou právě U₀.

b)      se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U₁, U₂

Vyřešením této soustavy rovnic dostaneme zobrazení Albertovo:

6.1.2.1.1. Zobrazení Albersovo z Lüneburgu (r. 1805)   

Autorem zobrazení je německý kartograf Heinrich Christian Albers. Toto zobrazení bylo poprvé zveřejněno v r. 1805 a použito pro mapu USA. Dále bylo užito pro přehlednou mapu Evropy a v obecné poloze kužele pro mapy Skandinávie.

Vlastnosti: zobrazení je ekvivalentní se 2 nezkreslenými rovnoběžkami.

Použití: vhodné pro zobrazení rovnoběžkového pásu, kde jsou okrajové rovnoběžky právě U₁, U₂.

Zobrazovací rovnice:

kde U₁ a U₂ jsou zeměpisné šířky nezkreslených rovnoběžek.

c)      pól se zobrazí jako bod

Opět budeme při odvozování vycházet z podmínek ekvivalence a dále z podmínky, aby se pól (U_p = 90°) zobrazil jako bod (r_p = 0).

Zobrazení je nazýváno Lambertovo:

6.1.2.1.2. Lambertovo ekvivalentní zobrazení (r. 1772)   

Zobrazení je prací J.H. Lamberta a vzhledem k velkému množství zobrazení, která odvodil, jej musíme uvádět v plném znění, aby nedošlo k záměně.

Vlastnosti: zobrazení je ekvivalentní, pól se zobrazí jako bod. Odlehlost obrazů rovnoběžek se od pólu směrem k rovníku zmenšuje.

Použití: vhodné pro kulový vrchlík

Zobrazovací rovnice:

Při vyřešení daných podmínek ekvivalence a zobrazení pólu jako bodu dostaneme určenou pouze konstantu r₀, zbývá tedy dourčit konstantu n a to např. z požadavku, aby se nezkreslovala základní rovnoběžka U₀. Po řešení a následné úpravě tak dostáváme konečné zobrazovací rovnice:

Ze vztahu pro r₀ vidíme, že se nejedná o polohu tečnou  podél rovnoběžky U₀. Pokud bychom chtěli odvodit vztah pro případ tečného válce, museli bychom vycházet z této podmínky:

Nyní dosazením do zobrazovací rovnice pro r získáme vztah pro konstantu n:

V tomto případě ale n ¹ sinU₀, což znamená, že se dotyková základní rovnoběžka zkresluje.

6.1.2.2. Zobrazení ekvidistantní v polednících

Tato zobrazení mají vyrovnávací charakter – zmírňují velká plošná zkreslení u konformních zobrazení a velká úhlová zkreslení u ekvivalentních zobrazení). I v tomto případě můžeme použít pro odvození zobrazovacích rovnic elementárního způsobu podle obr. 6.3. 

Při klasickém odvození rovnic budeme uvažovat podmínku:

Řešením dostáváme obecnou rovnici všech zobrazení ekvidistantních v polednících:

Volba konstant r₀, n:

a)      s jednou nezkreslenou rovnoběžkou U₀

Stejnou úvahou, jakou jsme dospěli k řešení v odst. 6.2.1. a), stanovíme podmínku, aby bylo délkové zkreslení ve zvolené základní rovnoběžce minimální (derivace výrazu je nulová) a rovnalo se jedné:

Toto zobrazení je nazýváno tečné Ptolemaiovo zobrazení:

6.1.2.2.1. Ptolemaiovo zobrazení (r. 150 n.l.)

Autorem zobrazení je Ptolemaios, který jím sestrojil mapu tehdy známého světa. Někdy také používán název jednoduché kuželové zobrazení Bonneovo a patří k nejstarším zobrazením vůbec.

Vlastnosti: ekvidistantní v polednících s jednou nezkreslenou rovnoběžkou. Základní rovnoběžka je nezkreslena a dále platí m_r  > 1, přičemž zkreslení přibývá od zákl. rovnoběžky rychleji k severu než k jihu.

Použití: pro zobrazení Země na kužel v normální poloze.

Zobrazovací rovnice:

b)      se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U₁, U₂

Opět analogickým postupem jako v odst. 6.2.1 b) získáme rovnice tohoto typu zobrazení:

Nazývá se de l´Isleovo:

6.1.2.2.2. Zobrazení De l´Isleovo (r. 1745)    

Zobrazení nese název podle francouzského hvězdáře J. N. de l´Isleho, který jej v 18. století použil. Bylo navrženo a použito pro mapy Ruska.

Vlastnosti: ekvidistantní v polednících se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami.

Použití: Často také pří tvorbě příručních map, nástěnných map malých měřítek pro obrazy kontinentů resp. Větších územních celků.

Zobrazovací rovnice:

c)      pól se zobrazí jako bod

V tomto případě budeme opět volit jako výchozí podmínky ekvidistanci v polednících a nulový poloměr obrazu pólu (pro U_p = 90° bude r_p = 0). Konstantu n budeme volit např. z požadavku, aby zůstala nezkreslená rovnoběžka U₀:

6.1.2.3. Konformní zobrazení

Tato zobrazení nelze odvodit elementární cestou. Pro klasické odvození budeme uvažovat podmínku konformity:

Řešením dostáváme Lambertovo konformní zobrazení:

6.1.2.3.1. Lambertovo konformní zobrazení (r. 1772)    

Toto zobrazení řešil po Lambertovi i Gauss, který jej používal pro geodetické účely.

Vlastnosti: konformní s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.

Použití: nejpoužívanější kuželovou metodou pro mapy jednotlivých států a oblastí (ty jsou ve velkém měřítku a musíme již zohlednit zploštění Země).

Zobrazovací rovnice:

Při odvození jsme dále pro volbu konstant uvažovali zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou a podmínku tečného kužele:

Konformní kuželové zobrazení bylo aplikováno i na Československou republiku Ing. Křovákem. Jedná se o tzv. Křovákovo dvojité konformní zobrazení v obecné poloze a tvoří základ souřadnicové soustavy S-JTSK. Zobrazení je podobně popsáno v kapitole 11.