6.2. Azimutální zobrazení jednoduchá

6.2.1. Společné vlastnosti
6.2.2. Jednotlivá zobrazení
  6.2.2.1. Ekvivalentní zobrazení
    6.2.2.1.1. Lambertovo ekvivalentní zobrazení
  6.2.2.2. Zobrazení ekvidistantní v polednících
    6.2.2.2.1. Postelovo zobrazení (r. 1581)
  6.2.2.3. Konformní zobrazení
  6.2.2.4. Azimutální projekce
    6.2.2.4.1. Gnomonická projekce
    6.2.2.4.2. Stereografická projekce
    6.2.2.4.3. Ortografická projekce
    6.2.2.4.4. Externí projekce (la Hireova, lunární, satelitní, Solovjevova)

! Podrobné odvození zobrazovacích rovnic azimutálních zobrazení


6.2.1. Společné vlastnosti

Azimutální zobrazení jsou limitním případem kuželových, kdy si můžeme představit, že má vrchol kužele „nulovou“ výšku nad zemským povrchem. V zobrazovacích rovnicích nepoužíváme hodnot [U; V], ale transformujeme zeměpisnou šířku U na zenitovou vzdálenost y = 90° - U.

Zobrazujeme na rovinu kolmou na spojnici středu koule a kartografického pólu. Rovina může být v různé vzdálenosti od středu, protože nedochází ke změně obrazu, pouze ke změně měřítka.

Obraz pólu leží ve středu zobrazovaného území a definuje systém kartografických poledníků - svazek přímek, které mezi sebou svírají stejný úhel jako na referenční ploše (oproti kuželovým zobrazením vyplňují celý horizont) - a rovnoběžek - soustředné kružnice. Zobrazení jsou vhodná pro větší územní celky, hlavně okrouhlého tvaru, a pro polokoule vzhledem k jejich přirozenému obrazu zeměpisné sítě. Používají se pro území kolem pólu (kartografického) , který je středem zobrazení.

Některá azimutální zobrazení můžeme odvodit i geometrickou cestou (promítáním ze zvoleného bodu na rovinu) a můžeme je proto nazývat projekce.

Zobrazovací rovnice

Vzorce pro výpočet zkreslení

Při tečné poloze azimutálních zobrazení je minimální zkreslení v okolí kartografického pólu Q, při sečné poloze je minimální zkreslení v okolí rovnoběžky y0. Zkreslení roste od středu mapy, resp. od obrazu rovnoběžky y0.

6.2.2. Jednotlivá zobrazení

6.2.2.1. Ekvivalentní zobrazení

V tomto případě můžeme použít elementární cestu odvození zobrazovacích rovnic podle obr. 6.1.

Obr. 6.1 Azimutální zobrazení ekvivalentní

Při klasickém postupu odvození vyjdeme z požadavku na ekvivalenci zobrazení, tudíž z podmínky:

Pomocí separace proměnných tuto soustavu vyřešíme a dále budeme požadovat, aby se pól zobrazil jako bod (pro y = 0° bude rp = 0).

Zobrazení se nazývá Lambertovo ekvivalentní zobrazení:

 

6.2.2.1.1. Lambertovo ekvivalentní zobrazení   

Vlastnosti: Charakteristickým znakem je zmenšování obrazu poledníkového úseku mezi 2 rovnoběžkami (se stejnými šířkovými odlehlostmi) směrem od středu mapy. Pokud dotykový bod neleží v pólu, ale na rovníku, dostaneme Lambertovo rovníkové zobrazení, které je někdy nazýváno po italském učenci Lorgnovi (1730 - 1796), který jej podrobně propracoval.

Použití: vhodné pro zobrazení polárních oblastí a pro mapy hemisfér (východní a západní). Další použití je např. pro školní nástěnné mapy a v atlasech.

Zobrazovací rovnice:

6.2.2.2.  Zobrazení ekvidistantní v polednících

Podmínkou pro odvození rovnice je opět požadavek ekvidistance v polednících:

Integrační konstantu dourčíme tak, aby se pól zobrazil jako bod (pro y = 0° bude r = 0).

Zobrazení se nazývá Postelovo:

 

6.2.2.2.1. Postelovo zobrazení (r. 1581)   

Zobrazení odvodil v 16. století Guillaume Postel.

Vlastnosti: Zobrazení patří mezi tzv. vyrovnávací a má důležitou vlastnost pro konstrukci map v seismice a letectví. Udává totiž  skutečnou sférickou vzdálenost libovolného bodu mapy od jejího středu (tento kruhový oblouk se zobrazuje do mapy jako přímka a to nezkresleně). Také azimut ortodromy procházející středem mapy je nezkreslen. Z níže uvedeného vztahu pro výpočet délkového zkreslení v rovnoběžce vidíme, že y > siny, tudíž se rovnoběžky od pólu směrem k rovníku prodlužují.

Použití: pro mapy v seismice a letectví a dále pro konstrukci map polárních oblastí.

Zobrazovací rovnice:

Vzorce pro výpočet zkreslení:

 

6.2.2.3. Konformní zobrazení

Vzhledem k tomu, že ve všech azimutálních zobrazením tvoří hlavní směry poledníky a rovnoběžky, bude pro vyvození rovnic opět stačit podmínka konformity:

Separací proměnných a následnou integrací ve výrazu pro r dostaneme konstantu c (libovolná integrační konstanta), kterou dourčíme podmínkou, aby se střed mapy nezkresloval (pro y = 0°  bude mp = mr = 1).

Toto zobrazení je možné odvodit geometrickou cestou a to promítáním na tečnou rovinu z antipólu (protipólu) dotykového bodu (středu mapy). Proto jej můžeme nazývat projekcí a to v tomto případě stereografickou (dále viz kap. 6.2.2.4).

 

6.2.2.4. Azimutální projekce


Obr. 6.2 Azimutální projekce

 

Azimutální projekce vznikají promítáním povrchu kulové plochy na rovinu p z obecného bodu QC. Rovina p je kolmá na spojnici QCSp. Podle umístění bodu QC dostaneme různé projekce. Postup odvození vychází z obr. 6.2, který znázorňuje osový řez rovinou promítacího paprsku bodu P.

Při označení vzdálenosti QP´= r podle obr. 6.2 platí:

Obecné polární zobrazovací rovnice:

 

Pravoúhlé rovinné souřadnice pak jsou:

Na základě volby středu promítání pak určíme konkrétní projekci:

c = 0, E = R … projekce gnómonická

c = R, E = 2R … projekce stereografická

c > R, E > 2R … projekce externí

c ® ¥, E ® ¥ … projekce ortografická

Vzorce pro výpočet zkreslení:

6.2.2.4.1. Gnomonická projekce   

Autorem zobrazení je Thales z Miletu.

Vlastnosti: zobrazení má velkou výhodu v tom, že se každá hlavní kružnice (ortodroma) zobrazí jako přímka, takže tyto mapy používáme jako konstrukční mapy pro zákres ortodromy do jiných zobrazení. Celou kouli také nemůžeme zobrazit na jednu rovinu, v literatuře jsou často uváděna zobrazení na čtverec, trojúhelníkový dvacetistěn apod.

Obraz geografické sítě:

Pro normální (pólovou) polohu – obrazem poledníků je svazek přímek, rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice

Pro příčnou (rovníkovou) polohu – obrazem poledníků jsou přímky rovnoběžné s rovníkem, obraz rovnoběžek jsou hyperboly

Pro obecnou polohu – obrazem poledníků je opět svazek přímek, obrazy rovnoběžek jsou hyperboly nebo elipsy a rozhraní určují 2 paraboly

Použití: hlavně pro mapy námořní plavby, v letectví a astronomii

Zobrazovací rovnice:

c = 0, E = R

Vzorce pro zkreslení:

Vzhledem k plošným zkreslením vzrůstajícím od středu mapy je praktické využití zobrazení max. do y = 45°.

6.2.2.4.2. Stereografická projekce (= konformní zobrazení)   

V obecné poloze byla v 19. století použita českými geodety Horským a Markem pro katastrální měření v Uhrách, které zasahovalo na území Slovenska. Za základní bod Q vzat trigonometrický bod Gellérthegy v Budapešti.

Vlastnosti: konformní

Použití: zobrazení je vhodné maximálně pro polokoule

Zobrazovací rovnice:

c = R, E = 2R

Vzorce pro zkreslení:

6.2.2.4.3. Ortografická projekce   

Vlastnosti: projekce je ekvidistantní v rovnoběžkách

Obraz geografické sítě:

Pro normální polohu – obrazem poledníků je svazek přímek, rovnoběžky se pak zobrazí jako soustředné kružnice

Pro příčnou polohu – obrazem poledníků jsou elipsy, obrazem rovnoběžek jsou rovnoběžné přímky

Pro obecnou polohu – obrazem poledníků i rovnoběžek jsou elipsy

Pro příčnou a obecnou polohu jsou také ve speciálním případě obrazem poledníků kružnice.

Použití: v astronomii pro mapy Měsíce, Slunce a planet

Zobrazovací rovnice:

c ® ¥, E ® ¥

Vzorce pro zkreslení:

6.2.2.4.4. Externí projekce

 Ø de la Hireova, vnější

Projekce pochází z r. 1701 a jejím autorem je francouzský kartograf Philippe de la Hire. Toto zobrazení dále podrobně studovali: Parent, Fischer, Hammer, Clarke, ... (každý volil jiné podmínky).


Obr. 6.3 La Hireova projekce

Zobrazovací rovnice:

c > R, E > 2R

Právě de la Hire použil nejznámější určení konstanty c jako:

Výpočtem pak získáme hodnotu c a E:

c = 1,7007 1068×R

E = 2,7007 1068×R

 

Jinými variantami určení konstanty c vzniká řada různých projekcí, např. Parentova, Clarkeova, atd.

Externí projekce často uváděné v literatuře jsou:

 Ø Satelitní projekce

střed promítání leží 35 900 km od povrchu Země (c = R + 35 900).

 Ø Lunární projekce

střed promítání leží ve středu Měsíce

 Ø Solovjevova dvojitá projekce:

Projekce vznikla ve 20. století. Profesor Solovjev nejprve promítl stereograficky bod P z koule k1 na kouli k2 dvojnásobného poloměru a poté opět stereograficky na tečnou rovinu (obr. 6.4). Tím bohužel došlo ke ztrátě konformity, došlo však ke snížení zkreslení, kterých dosahuje stereografická projekce.


Obr. 6.4 Solovjevova projekce

Zobrazovací rovnice: