5. Zobrazení elipsoidu na kouli

5.1. Společné vlastnosti

Pro konstrukci map velmi malých měřítek můžeme nahradit elipsoid koulí. Pro úkoly geodézie a mapování však musíme vhodně zobrazit elipsoid na kouli. U všech zobrazení volíme podmínku, aby se zeměpisná síť na elipsoidu zobrazila opět jako zeměpisná síť na kouli, tzn. že zeměpisné souřadnice na kouli jsou funkcí pouze odpovídající zeměpisné souřadnici na elipsoidu: U = f(j) a V = g(l).  Obrazy poledníků a rovnoběžek na sebe budou opět navzájem kolmé a tudíž v každém bodě určují směr hlavních paprsků.

Zobrazovací rovnice

Vzorce pro výpočet zkreslení

5.2. Jednotlivá zobrazení

5.2.1. Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi

Jedná se o nejjednodušší způsob zobrazení. Jde o pouhé nahrazení elipsoidu koulí (hodnoty zeměpisných souřadnic zůstávají zachovány). Také musíme vhodně zvolit poloměr koule R (s nezkresleným rovníkem, se stejným objemem jako elipsoid nebo se stejným povrchem).

Obr. 5.1 se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi

Zobrazovací rovnice:

Vzorce pro zkreslení:

5.2.2. Konformní zobrazení

5.2.2.1. zeměpisná síť i v obraze zeměpisnou sítí

Toto zobrazení je často používané v geodézii a při odvození zobrazovacích rovnici vycházíme s podmínky konformity:

Budeme-li uvažovat vztah pro zeměpisnou délku jako dV = a×dl, kde a je konstanta, kterou dourčíme později, dostaneme tak po integraci vztah V = a×l + b, kde b je integrační konstanta, která se ovšem musí rovnat nule v případě, kdy chceme, aby se nultý poledník zobrazil na kouli opět jako nultý poledník (V = 0). Nyní můžeme do výchozího vztahu dosadit za V, M a N a po integraci dostáváme hledané vztahy pro zeměpisné souřadnice.

Zobrazovací rovnice:

Vzorce pro zkreslení:

Volba konstant a, k, R:

a)      a = 1,  k = 1, R = a … nejjednodušší případ

Tato volba je vhodná pro území okolo rovníku, pro který platí, že se zobrazí opět jako rovník (j = U = 0°) a je nezkreslen (m = 1). Všude jinde bude zkreslení větší než jedna a se vzdáleností od rovníku bude narůstat.

b)      pro pás ohraničený rovnoběžkami j_j, j_s

Toto zobrazení je známo pod názvem Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu na kouli. Při odvození nejprve zvolíme základní (střední) rovnoběžku j₀, která bude nezkreslená:

Gauss při odvození položil podmínku, aby se hodnota zkreslení co nejméně lišila od jedničky, tudíž aby se první a druhá derivace rovnala nule.

Vyřešením těchto podmínek získáme vzorce pro výpočet konstant:

Toto zobrazení použil Ing. Josef Křovák pro zobrazení Československa.

5.2.2.2. zobrazení při podmínce nezkresleného základního poledníku

Pro toto zobrazení klademe podmínku konformity a dále pak ekvidistanci základního poledníku. Tyto podmínky mohou být splněny za předpokladu, že se geografická síť nezobrazí opět jako geografická.

Ve vztahu pro konformitu použijeme vyjádření pomocí izometrických souřadnic Q, q:

Tento vztah pro zobrazení poledníkového pásu můžeme rozepsat do tvaru:

Srovnáme-li reálné a imaginární části, dostaneme:

Dále požadujeme, aby se střední poledník na elipsoidu (l = 0) zobrazil opět jako střední na kouli (V = 0):

Z podmínky nezkresleného rovníku plyne:

kde R je poloměr koule určený z podmínky nezkresleného kvadrantu poledníku a B je poledníkový oblouk na elipsoidu.

Nyní můžeme použít známý vzorec pro izometrickou šířku Q na kouli:

A dále pak budou derivace:

Jak již bylo dříve zmíněno, zobrazení nelze zařadit mezi jednoduchá vzhledem k tomu, že se geografická síť nezobrazí jako zeměpisná. Tudíž musíme pro výpočet zkreslení uvažovat základní vzorec. Zobrazovací rovnice zaručují konformitu a platí m = m_p = m_r, můžeme tak počítat délkové zkreslení:

5.2.3. Zobrazení promítnutím na soustřednou kouli

Obr. 5.2 promítnutí na soustřednou kouli

Z obr. 5.2 je zřejmé, že se jedná o promítnutí po středovém paprsku – centrální průmět. Zobrazovací rovnice: b je geocentrická šířka

Vzorce pro zkreslení:

5.2.4. Zobrazení ekvidistantní

5.2.4.1. Zobrazení ekvidistantní v polednících

Druhou zobrazovací rovnici volíme tak, aby se na kouli utvořil uzavřený obraz elipsoidu V = l (pro l = 360° bude V = 360°). Dále pak použijeme podmínky ekvidistance v polednících:

Integrovat budeme v mezích od 0 do U (resp. od 0 do j) vzhledem k tomu, že chceme, aby se rovník zobrazil opět jako rovník a bude tedy:

kde r° je koeficient pro převod obloukové míry na stupňovou a s₀^j je délka poledníkového oblouku od rovníku k šířce j. Poloměr koule určíme z podmínky, aby se pól na elipsoidu zobrazil jako pól na kouli:

Pokud by se jednalo  pouze o zobrazení pruhu území podél rovnoběžky j₀ je vhodné volit U₀ = j₀, R = N₀ a změnu mezí integrace:

5.2.4.2. Zobrazení ekvidistantní v rovnoběžkách

Pro zeměpisnou délku volíme opět vztah V = l a dále podmínku ekvidistance v rovnoběžkách:

Pro nezkreslený rovník bude platit R = a a bude tedy vztah mezi zeměpisnými šířkami:

Zkreslení v poledníku pak bude:

5.2.5. Ekvivalentní zobrazení

Při odvození použijeme podmínku ekvivalence:

Zobrazovací rovnice:

Vzorce pro zkreslení: