Před prováděním tzv. matematických redukcí je třeba, aby měřené délky byly opraveny o redukce fyzikální. Tyto redukce redukují naměřenou délku o vliv prostředí. Způsob výpočtu těchto redukcí je zpravidla uveden v návodu pro použití jednotlivých typů dálkoměrů. Redukce se většinou zavádí přímo do paměti dálkoměru.
Převod měřené délky na referenční plochu probíhá v šesti krocích [62]:
k měřené délce D vypočteme délku přímé spojnice d koncových bodů měřené délky,
k přímé spojnici se vypočte odpovídající délka tětivy t na vhodně zvolené náhradní kouli o poloměru R,
k tětivě t se vypočte příslušný kruhový oblouk s´,
oblouk s´ se převede na eliptický oblouk
eliptický oblouk
se převede na oblouk elipsy s0,
oblouk elipsy s0 se převede na délku geodetické čáry s.
ad 1.výpočet přímé spojnice d koncových bodů měřené délky
Měřená délka D leží v normálové rovině dané normálou k elipsoidu v počátečním bodě P1. Tuto délku lze považovat za oblouk kružnice o poloměru
kde
R je poloměr Země,
k je refrakční koeficient.
Přímou spojnice d bodů P1 a P2 vypočteme ze vzorce:
Funkci
rozvineme v řadu a dosadíme do vzorce (1):
Třetí člen je nepatrný a tedy může být zanedbán:
Teprve pro D = 25 km dosáhne korekce ΔD hodnoty 1 mm (u světelných vln).
Obrázek 6.35. Převod měřené délky D na přímou spojnici d, jí odpovídající tětivu t a jí odpovídající kruhový oblouk s´ [62]
ad 2. výpočet tětivy t k dané hodnotě d
Na obrázku značí H1 výšku bodu P1, H2 výšku bodu P2 nad náhradní koulí o poloměru R. V trojúhelníku P1P2C platí kosinová věta:
Stejně i v trojúhelníku P1´P2´C platí kosinová věta:
Z rovnice (4) vyjádříme cosσ:
a dosadíme do rovnice (3). Po úpravě dostaneme:
Vyjádříme t a označíme rozdíl H2 – H1 = h:
ad 3. výpočet kruhového oblouku s´ k tětivě t
Kruhový oblouk s´ vypočteme ze vzorce:
Pokud funkci
rozvineme v řadu, dostaneme po úpravě:
Třetí člen se obvykle zanedbává, potom:
Pro t < 10 km je Δt < 1 mm.
ad 3. převod kruhového oblouku s´ na eliptický oblouk
Dosadíme-li za R = N1 (příčný poloměr křivosti v bodě P1), pak
Pokud je
, lze pro délku
psát [62]:
Rozdíl obou délek
je pro délky do 25 km menší než 0,2 mm a tedy tato korekce může být zanedbána.
ad 4. převod oblouku
na oblouk elipsy
Protože úhel δ mezi oblouky
a s0 je velmi malý, můžeme psát:
Úhel ε se může vyjádřit vzorcem [62]:
Po dosazení (7) do (6) dostaneme:
ad 5. převod oblouku elipsy s0 na délku geodetické čáry s
Pro rozdíl délky normálového řezu s0 a délky geodetické čáry s platí vzorec [62]:
Pro s = 1000 km dosáhne tento rozdíl maximálně 0,08 mm a je tedy prakticky zanedbatelný.
Protože v současnosti se přesnost elektrooptických dálkoměrů charakterizuje relativní chybou až 1.10-6, je třeba počítat korekce velmi přesně. Proto se dnes spíše pro převod měřené délky na referenční plochu používá postup podle Rinnera:
K naměřené délce D se vypočte přímá spojnice d koncových bodů měřené délky podle vzorce (2).
Tětiva t se vypočte podle vzorce (5) na kouli o poloměru R = N1.
K tětivě t se vypočte délka přímé prostorové spojnice mezi průměty koncových bodů měřené délky na elipsoid, tedy elipsoidická tětiva te. K této tětivě se vypočte délky geodetické čáry s na elipsoidu.
Pro délky do 100 km platí zjednodušené vzorce:
Pro délky do 50 km lze tyto vzorce dále zjednodušit:
Pokud do vzorce (5) dosadíme
dostaneme
Délku geodetické čáry s k tětivě te můžeme počítat s postačující přesností jako délku oblouku kružnice o poloměru R1, tedy
V praxi je třeba pro řešení geodetických úloh v zobrazovací rovině znát měřené délky v rovině kartografického zobrazení (zobrazovací rovině). V geodézii se používá konformních zobrazení, pro něž lze použít obecného vzorce:
kde
s je délka na referenčním elipsoidu,
m1, mn, m2 jsou měřítka (zkreslení) v počátečním, středním a koncovém bodě geodetické čáry.
Převod do roviny Křovákova zobrazení
V Křovákově zobrazení se nejprve konformně zobrazuje Besselův elipsoid na Gaussovu kouli. Zkreslení délek při tomto zobrazení dosáhne pro strany dlouhé 60 km maximálně ± 4 mm a zpravidla se zanedbává.
V praxi se používají tabulky (obr. 6.38) hodnot délkového zkreslení, které jsou sestaveny k argumentu
, kde Xi a Yi jsou rovinné souřadnice uvažovaného bodu. Určené hodnoty zkreslení [46] se pak dosazují do vzorce (8).
Pro délky kratší než 5 km lze použít vzorce pro zkreslení ve středu vzdálenosti
Délkové korekce v Křovákově zobrazení dosahují na našem území hodnot –10 až +14 cm na jeden kilometr.
Převod do roviny Gaussova zobrazení
V Gaussově zobrazení je zkreslení funkcí dvou proměnných a vzorec (8) se upravuje na tvar:
Vzorec (9) postačí pro délky do 60 km. Pro strany do 20 km pak lze zanedbat třetí člen a používat vzorec:
Délkové korekce v Gaussově zobrazení dosahují na našem území maximálních hodnot ± 57 cm na jeden kilometr na okraji šestistupňového pásu a ±14 cm na jeden kilometr na okraji třístupňového pásu.
Velmi podrobný výklad této problematiky lze nalézt v [4].
Pojem topografická redukce značí centraci excentricky zaměřených délek. Předpokládáme, že excentricky zaměřená délka je již matematicky redukována. Vlastní řešení pak již spočívá pouze v řešení vztahů v rovinných trojúhelnících.
Jednostranná centrace délky s úhlem ψ měřeným na centru
Měřena je excentrická délka
(excentrická délka opravená o matematické redukce), excentricita e a úhel ψ.
Určujeme centrickou délku
Centrická délka
se vypočte ze vzorce
Jednostranná centrace délky s úhlem ε měřeným na excentru
Měřena je excentrická délka
(excentrická délka opravená o matematické redukce), excentricita e a úhel ε.
Určujeme centrickou délku
Centrická délka
se vypočte z kosinové věty pro stranu podle vzorce
Oboustranná centrace délky s úhly měřenými na excentrických stanoviskách
Měřeny jsou excentrická délka
(excentrická délka opravená o matematické redukce), excentricity e1 a e2 a úhly ψei a ψej.
Určujeme centrickou délku
Zavedeme místní souřadnicovou soustavu s počátkem v bodě Ei a osou y´ vloženou do směru strany
Nejprve určíme směrníky
Úlohou rajonu (viz kapitola Souřadnicové výpočty) určíme souřadnice
ze kterých určíme centrickou délku
podle vzorce