Kapitola 5. Měření úhlů

Vrcholový úhel, který leží ve všeobecné rovině (jeho ramena mají různý sklon), určujeme jako průmět do vodorovné a svislé roviny. Tím vzniká vodorovný a svislý úhel.

Obrázek 5.1. Vodorovný a svislý úhel [45]

Vodorovný a svislý úhel [45]

Vodorovný úhel ω mezi body L a P získáme tak, že směry CL, CP promítneme kolmo do vodorovné roviny π. Úhel mezi průměty CL1, CP1 je vodorovný úhel ω. K odměření vodorovného úhlu můžeme použít libovolný bod na svislici procházející stanoviskem S (= C). Vodorovné úhly jsou odměřovány na vodorovném kruhu teodolitu.

Pokud by levý směr byl

Svislý úhel ε je měřen ve svislé rovině z1 (z2) a je odměřován na svislém kruhu teodolitu. Svislý úhel měříme od vodorovné roviny π procházející bodem S směrem k bodu L – výškový úhel ε1, směrem k bodu P – hloubkový úhel ε2, nebo od svislice směrem k bodu L – zenitový úhel z. Pozn. Opačným úkonem k měření úhlů je jejich vytýčení (do terénu vynášíme úhel známé velikosti).

Jednotky

Velikost úhlu můžeme vyjádřit v obloukové nebo stupňové míře.

Jednotkou rovinného úhlu v obloukové míře je radián (rad)[27].

Radián je rovinný úhel sevřený dvěma radiálními polopaprsky, které vytínají na kružnici oblouk stejné délky, jako má její poloměr.

Obrázek 5.2. Radián [29]

Radián [29]

Obloukovou míru používáme zejména při vyjadřování chyb a jejich analýze.

Když máme kružnici o poloměru r, potom pro úhel α° a jemu příslušející oblouk arc α platí:

kde

je radián ve stupních (ρ0 )[28].

Radián však není vhodný pro geodetické měření a výpočty. Používáme jej pouze pro převod z délkové míry na míru úhlovou. V praxi se používají vedlejší jednotky rovinného úhlu (stupňová míra).

V šedesátinném dělení jsou to:

1° (úhlový stupeň) = π/180 rad

1' (úhlová minuta) = 1/60°= π/10 800 rad

1'' (úhlová sekunda) = 1/60´ =π/648 000 rad

Plný kruh v šedesátinném dělení = 360°.

V setinném dělení jsou to:

1 gon[29] = π/200 rad

1 mgon (miligon) = 0,001 gon = π/200 000 rad

Poznámka

Dříve se používalo dělení gradu (g) na centigrady (1c = 1/100g) a centicentigrady (1cc = 1/100c).

Plný kruh v setinném dělení = 400 gon.

Převodní vztahy mezi dělením šedesátinným a setinným:

360° = 400g -> 1° = 10/9g a 1g = 9/10°

Převodní vztahy mezi vedlejšími jednotkami rovinného úhlu a radiánem:

1 rad = 57,29578° = 3437,75´ = 206264,8´´ = 63,66198 gon = 63661,98 mgon

5.1. Určování úhlů konstantní velikosti

K určování úhlů konstantní velikosti (pravý, přímý úhel) se používají jednoduché pomůcky – pásma a hranoly.

Pásma se využívá k určení pravého úhlu. Vychází se přitom z Pythagorejského trojúhelníka o stranách rovných násobkům 3, 4, a 5.

Obrázek 5.3. Určení pravého úhlu pomocí pásma [45]

Určení pravého úhlu pomocí pásma [45]

Postup s pásmem je však ještě příliš pracný a proto se při potřebě rychlého vytýčení většího množství pravých úhlů používá trojbokého nebo pentagonálního hranolu.

Trojboký hranol má úhel proti přeponě roven 90o a zbylé dva úhly jsou rovny 45°. Přeponová stěna je pokovená a působí jako zrcadlo (odraz). Na zbylých dvou stěnách dochází k lomu paprsku. Paprsek je po průchodu hranolem posunut o úhel δ = 90°. Hranol je vložen do pouzdra s držákem, které je opatřeno háčkem pro zavěšení olovnice.

Obrázek 5.4. Průchod světelných paprsků v trojbokém hranolu [27]

Průchod světelných paprsků v trojbokém hranolu [27]

Při vytýčení pravého úhlu musí být přeponová stěna přibližně rovnoběžná s měřickou přímkou. Hranolem pohybujeme podél přímky, obraz výtyčky realizující přímku nám udává směr hledané kolmice.

Pentagonální hranol má jeden úhel pravý a protilehlý úhel má velikost 45° (viz obr. 5.5). Část hranolu u vrcholu I je z důvodu zmenšení hmotnosti a rozměru ubroušena. Stěny BC a DE jsou pokoveny, působí tedy jako zrcadlo a paprsek se na nich odráží. Na stěnách AB a AE dochází k lomu paprsku. Směr vstupujícího paprsku je po průchodu hranolem posunut o úhel δ = 90°.

Obrázek 5.5. Průchod světelných paprsků v pentagonálním hranolu [27]

Průchod světelných paprsků v pentagonálním hranolu [27]

Pentagon se při vytýčení kolmice na přímku AB umístí pomocí olovnice na bod přímky, z nějž chceme kolmici vytýčit. Otočí se jednou stěnou k výtyčce označující směr přímky. Ve druhé stěně hranolu se objeví obraz této výtyčky, který nám udává směr hledané kolmice.

Obrázek 5.6. Určení kolmice pentagonem [29]

Určení kolmice pentagonem [29]

Dvojitý pentagon jsou dva pentagonální hranoly postavené na sebe. Používá se k vytýčení přímého úhlu (obr. 5.7). Dvojitým pentagonem se pohybuje kolmo k dané přímce, až se dosáhne splynutí obrazu výtyčky stojící ve směru na bod A a výtyčky stojící ve směru na bod B. Hledaný bod přímky AB je určen pomocí olovnice.

Obrázek 5.7. Chod světelných paprsků v dvojitém pentagonu [29]

Chod světelných paprsků v dvojitém pentagonu [29]

Dvojitý pentagon lze použít také k vytýčení paty kolmice z daného bodu na přímku nebo naopak k vytýčení kolmice z daného bodu přímky. Hranolem se pohybuje podél přímky a kolmo na přímku až obrazy výtyček realizujících přímku a výtyčky pozorované pouhým okem přes hranol splývají.

Obrázek 5.8. Určení kolmice dvojitým pentagonem [53]

Určení kolmice dvojitým pentagonem [53]


[27] Radián je jednotkou doplňkovou.

[28] Analogicky pro α (gon).

[29] Dříve se místo termínu gon používal termín grad a namísto termínu miligon se používal termín miligrad. S těmito staršími termíny je stále možné se v praxi setkat.