Kapitola 2. Tvar zemského tělesa a referenční plochy

Země je fyzikální těleso, jehož tvar je výslednicí dvou sil: síly přitažlivé a síly odstředivé. Výslednicí obou sil je tíhová síla G.

Obrázek 2.1. Tíhová síla

Tíhová síla

Tíhové pole Země je prostor, ve kterém se projevuje působení zemské tíže a tělesa jsou přitahována přibližně do středu Země. V geodetickém smyslu je Zemí nulová hladinová plocha [34], zvaná podle J. B. Listinga (1873) geoid. Geoid by se realizoval jako klidná střední hladina moří, která jsou spojená i pod kontinenty. Tato hladinová plocha je všude kolmá na směr zemské tíže. Při měření je tato plocha realizována urovnanou libelou. (Více viz [34]).

Obrázek 2.2. Geoid [44]

Geoid [44]

Jak vlastní povrch Země tak i geoid jsou však tělesa nepravidelná, členitá a velmi složitá, proto je pro potřeby mapování nahrazujeme referenčními plochami. Těmito plochami jsou referenční elipsoid, referenční koule a referenční rovina. Podrobněji jsou probírány v předmětu Vyšší geodézie. Zde se omezím pouze na základní pojmy.

Referenční elipsoid

Elipsoid (sféroid) je rotační těleso zploštělé na pólech. Je určen dvěma konstantami elipsoidu: např. a – hlavní poloosa elipsoidu , b – vedlejší poloosa elipsoidu, e2 – první excentricita, i –zploštění

Je- li střed elipsoidu ztotožněn s těžištěm geoidu a vedlejší osa s osou rotace Země, pak tento elipsoid nazýváme zemský elipsoid. Je-li vedlejší osa rovnoběžná s osou rotace Země, pak tento elipsoid nazýváme referenční elipsoid.

Pokud nahrazujeme geoid rotačním elipsoidem tížnice ke geoidu t a normála k elipsoidu n svírají v různých místech malý úhel – tížnicovou odchylku θ.

Obrázek 2.3. Tížnicová odchylka

Tížnicová odchylka

U nás se v civilním sektoru využívá elipsoid Besselův z r. 1841, ve vojenském sektoru elipsoid Krasovského z r. 1940. Velmi užívaným je rovněž elipsoid Hayfordův (1909), který byl roku 1924 přijat za mezinárodní elipsoid. Pro metody měření pomocí GPS je používán elipsoid WGS-84, na nějž přejde vojenský sektor v roce 2005.

V tabulce jsou uvedeny parametry nejdůležitějších elipsoidů:

Tabulka 2.1. Parametry vybraných elipsoidů

 BesselHayfordKrasovskijIAG 1967WGS-84
rok18411909194019671984
a[m]6377397.1556378388637824563781606378137
b[m]6356078.9636356911.9466356863.0196356774.5166356752.314
i[m]1/299.1531/297.01/298.31/298.2471/298.257

Proměnlivost křivosti elipsoidu působí, že i na rotačním elipsoidu jsou výpočty geodetických úloh značně složité. Proto jej často nahrazujeme koulí.

Referenční koule

Koule má konstantní křivost. Je určena pouze poloměrem R. Referenční kouli je možno využít [34]:

a)

pro nahrazení části elipsoidu

Používá se pro území o poloměru do 200 km. Volí se střední poloměr křivosti Rm = (M*N)˝, kde M je meridiánový poloměr křivosti a N je střední poloměr křivosti. Tento poloměr se vypočítává ke středu území, v němž se koule dotýká elipsoidu.

Střední poloměry křivosti pro jednotlivé elipsoidy uvádím v tabulce. [3]

Tabulka 2.2. Střední poloměry křivosti pro vybrané elipsoidy

 BesselHayfordKrasovskijIAG 1967WGS-84
Rm[m]6380703.6116381718.7316391561.2676381476.8056381453.683
b)

pro nahrazení celého elipsoidu

Používá se pro méně náročné úkoly. Poloměr náhradní koule je možné určit více způsoby:

  • aby koule měla stejný objem jako elipsoid

  • aby koule měla stejný obsah jako elipsoid

  • aby poloměr koule byl rovný aritmetickému průměru všech tří poloos elipsoidu

  • aby délky kvadrantů byly stejné

    kde Q je délka poledníkového kvadrantu.

Poloměry referenčních koulí pro dané elipsoidy za zmíněných podmínek uvádím v tabulce:

Tabulka 2.3. Poloměry referenčních koulí pro vybrané elipsoidy za zmíněných podmínek

podmínkaBesselůvHayfordůvKrasovskéhoIAG 1967WGS-
stejný objem [m]63702836371221637111063710246371001
stejný povrch [m]63702996371237637112663710406371017
aritmetický průměr poloos [m]63702916371229637111863710326371009
stejný kvadrant [m]63667436367655636755863674716367449

Referenční rovina

Kouli lze nahradit tělesem rozvinutelným do roviny (např. kuželem, válcem či tečnou rovinou). Více se těmito tělesy zabývá předmět matematická kartografie. Za rovinu lze považovat – pro polohopisné účely – území do průměru 30 km. [4]Vodorovné úhly a délky jsou prakticky stejné na zakřiveném povrchu i na jeho tečné rovině.

2.1. Vliv zakřivení Země na měřené veličiny

Volbou náhradní referenční plochy se v jednotlivých veličinách dopouštíme chyb, a to chyb v délkách, úhlech a zejména ve výškách.

Pokud zanedbáme zakřivení Země, tzn. pracujeme-li v rovinném průmětu, dopouštíme se chyb při výpočtu a zobrazení jednotlivých geodetických veličin. Pro tyto chyby platí přímá úměra: čím větší je vzdálenost mezi uvažovanými body a čím větší bude zobrazované území, tím větší budou hodnoty zkreslení. Pokud určíme rozdíly mezi těmito veličinami na kouli a jejich průměty do roviny, můžeme stanovit, do jaké vzdálenosti lze ještě zemský povrch považovat za rovinný, aniž bychom ovlivnili přesnost měřených veličin.

Přesnost měření lze charakterizovat relativními chybami.

Přesnost zobrazení Δr – grafická přesnost – závisí na přesnosti vynesení (Δy = ±0,05 mm) a na měřítku mapy.

2.1.1. Redukce délek

[33] Vliv zakřivení Země na měřené délky se projevuje jako rozdíl mezi délkou ve skutečném horizontu a délkou ve zdánlivém horizontu a jako změna délky promítnuté do nulového horizontu.

Rozdíl mezi délkami ve skutečném a zdánlivém horizontu

Na obrázku je P střed oblasti. A,B jsou body na kulové ploše (skutečném horizontu). Jejich vzdálenost s je délka skutečného horizontu. Promítnutím obou bodů do zdánlivého horizontu (tangenciální zobrazovací roviny) dostaneme body A´,B´. Zdánlivý horizont je kolmý na směr tíže a je realizován urovnanou libelou geodetického přístroje.

Obrázek 2.4. Rozdíl mezi délkami ve skutečném a zdánlivém horizontu

Rozdíl mezi délkami ve skutečném a zdánlivém horizontu

Délka s=R*φ

potom φ=s/R

délka průmětu:

Rozvinutím funkce tg v Maclourinovu řadu[5] a použitím pouze prvních 2 členů dostaneme

Pak rozdíl mezi délkou na rovině a na kouli

Tabulka 2.4. Rozdíl mezi délkou na rovině a na kouli pro R = 6380 km

s[km]101520253035
delta[mm]2716325588

Relativní chyba Δs/s = 1 : 545 000 a Δs = 55 mm pro s = 30 km.

Přitom poměrná přesnost délkových měření je okolo 1 : 100 000 a grafická přesnost pro měřítko 1 : 1 000 je 50 mm.

Závěr: Zakřivenou plochu lze nahradit rovinou do vzdálenosti s = 30 km. [33]

Redukce délky do nulového horizontu

Vlivem sbíhavosti tížnic je délka v určité nadmořské výšce větší či menší než na nulovém horizontu. Délka s naměřená ve výšce h se při průmětu do nulového horizontu změní na délku so.

Obrázek 2.5. Redukce délky do nulového horizontu

Redukce délky do nulového horizontu

Redukcí délky z nadmořské výšky je rozdíl Δs:

Vybrané redukce jsou uvedeny v tabulce:

Tabulka 2.5. Redukce délky z nadmořské výšky

výška h100m500m1000m2000m
délka 100m281631
délka 200m3163163
délka 500m83978157
délka 1000m1678157313
délka 2000m31157314627
délka 5000m783927841576

2.1.2. Rozdíly v úhlech

Při nahrazení plochy kulové rovinou zanedbáváme při měření vodorovných úhlů sférický exces. Sférický exces є je hodnota, o kterou je větší součet vnitřních úhlů uzavřeného obrazce na sféře oproti součtu vnitřních úhlů stejného obrazce v rovině.

P ... plošný obsah sférického trojúhelníku

ρ "... radián

Pro rovnostranný sférický trojúhelník o stranách 20 km je exces ε = 0,9´´ a každý úhel v rovinném trojúhelníku bude zatížený chybou ε´´/3 = 0,3´´. To je hodnota velmi malá a nemusí se uvažovat ani při přesnějších měřeních

2.1.3. Rozdíly ve výškách

Při měření výšek zaměňujeme skutečný horizont za zdánlivý horizont. Výškový rozdíl bodů A a B je definován jako kolmá vzdálenost hladinových ploch procházejících zmíněnými body. Pokud zanedbáme zakřivení Země promítne se bod B do bodu B´ a my určujeme převýšení BB´ namísto správného převýšení AB. Tím se dopouštíme chyby o velikosti q.

Obrázek 2.6. Vliv zakřivení Země na výšky

Vliv zakřivení Země na výšky

Z obrázku je patrné, že q vypočteme ze vztahu:

Po dosazení za φ ze vztahu φ=s/R dostaneme q=s2/2R.

Z výsledného vztahu je vidět, že chyba roste kvadraticky. Vliv zakřivení Země tedy není možno při výškovém měření zanedbat ani na velmi krátké vzdálenosti, protože chyba překračuje tolerance i běžných výškových měření.

Velikosti chyb pro vybrané hodnoty délek jsou uvedeny v tabulce.

Tabulka 2.6. Chyby ve výškách pro vybrané hodnoty délek

s[m]10050010005000
q[mm]120781959


[3] Střední zeměpisná šířka pro ČR je 49°30´.

[4] Údaj 30 km vyplývá z problematiky rozdílu mezi délkami ve skutečném a zdánlivém horizontu, který je podrobně rozveden v následujícím odstavci.

[5] Maclaurinova řada: je-li xo = 0, potom