Převod měřené délky na referenční plochu probíhá v šesti krocích [62]:

ad 1.výpočet přímé spojnice d koncových bodů měřené délky

Měřená délka D leží v normálové rovině dané normálou k elipsoidu v počátečním bodě P₁. Tuto délku lze považovat za oblouk kružnice o poloměru

kde

R je poloměr Země,

k je refrakční koeficient.

Přímou spojnice d bodů P₁ a P₂ vypočteme ze vzorce:

Funkci

rozvineme v řadu a dosadíme do vzorce (1):

Třetí člen je nepatrný a tedy může být zanedbán:

Teprve pro D = 25 km dosáhne korekce ΔD hodnoty 1 mm (u světelných vln).

Obrázek 6.37. obr. 6.35 – Převod měřené délky D na přímou spojnici d, jí odpovídající tětivu t a jí odpovídající kruhový oblouk s´ [62]

ad 2. výpočet tětivy t k dané hodnotě d

Na obrázku značí H₁ výšku bodu P₁, H₂ výšku bodu P₂ nad náhradní koulí o poloměru R. V trojúhelníku P₁P₂C platí kosinová věta:

Stejně i v trojúhelníku P₁´P₂´C platí kosinová věta:

Z rovnice (4) vyjádříme cosσ:

a dosadíme do rovnice (3). Po úpravě dostaneme:

Vyjádříme t a označíme rozdíl H₂ – H₁ = h:

ad 3. výpočet kruhového oblouku s´ k tětivě t

Kruhový oblouk s´ vypočteme ze vzorce:

Pokud funkci

rozvineme v řadu, dostaneme po úpravě:

Třetí člen se obvykle zanedbává, potom:

Pro t < 10 km je Δt < 1 mm.

ad 3. převod kruhového oblouku s´ na eliptický oblouk

Dosadíme-li za R = N₁ (příčný poloměr křivosti v bodě P₁), pak

Pokud je

, lze pro délku

psát [62]:

Obrázek 6.38. obr. 6.36 – Převod kruhového oblouku na eliptický [62]

Rozdíl obou délek

je pro délky do 25 km menší než 0,2 mm a tedy tato korekce může být zanedbána.

ad 4. převod oblouku

na oblouk elipsy

Obrázek 6.39. obr. 6.37 – Převod eliptického oblouku na oblouk elipsy [62]

Protože úhel δ mezi oblouky

a s₀ je velmi malý, můžeme psát:

Úhel ε se může vyjádřit vzorcem [62]:

Po dosazení (7) do (6) dostaneme:

ad 5. převod oblouku elipsy s₀ na délku geodetické čáry s

Pro rozdíl délky normálového řezu s₀ a délky geodetické čáry s platí vzorec [62]:

Pro s = 1000 km dosáhne tento rozdíl maximálně 0,08 mm a je tedy prakticky zanedbatelný.

Protože v současnosti se přesnost elektrooptických dálkoměrů charakterizuje relativní chybou až 1.10^-6, je třeba počítat korekce velmi přesně. Proto se dnes spíše pro převod měřené délky na referenční plochu používá postup podle Rinnera:

K naměřené délce D se vypočte přímá spojnice d koncových bodů měřené délky podle vzorce (2).

Tětiva t se vypočte podle vzorce (5) na kouli o poloměru R = N₁.

K tětivě t se vypočte délka přímé prostorové spojnice mezi průměty koncových bodů měřené délky na elipsoid, tedy elipsoidická tětiva t_e. K této tětivě se vypočte délky geodetické čáry s na elipsoidu.

Pro délky do 100 km platí zjednodušené vzorce:

Pro délky do 50 km lze tyto vzorce dále zjednodušit:

Pokud do vzorce (5) dosadíme

dostaneme

Délku geodetické čáry s k tětivě t_e můžeme počítat s postačující přesností jako délku oblouku kružnice o poloměru R₁, tedy

V praxi je třeba pro řešení geodetických úloh v zobrazovací rovině znát měřené délky v rovině kartografického zobrazení (zobrazovací rovině). V geodézii se používá konformních zobrazení, pro něž lze použít obecného vzorce:

kde

s je délka na referenčním elipsoidu,

m₁, m_n, m₂ jsou měřítka (zkreslení) v počátečním, středním a koncovém bodě geodetické čáry.

Převod do roviny Křovákova zobrazení

V Křovákově zobrazení se nejprve konformně zobrazuje Besselův elipsoid na Gaussovu kouli. Zkreslení délek při tomto zobrazení dosáhne pro strany dlouhé 60 km maximálně ± 4 mm a zpravidla se zanedbává.

V praxi se používají tabulky (obr. 6.38) hodnot délkového zkreslení, které jsou sestaveny k argumentu

, kde Xi a Yi jsou rovinné souřadnice uvažovaného bodu. Určené hodnoty zkreslení ^[46] se pak dosazují do vzorce (8).

Obrázek 6.40. obr. 6.38 - Tabulka hodnot délkového zkreslení k argumentu R [55]

Pro délky kratší než 5 km lze použít vzorce pro zkreslení ve středu vzdálenosti

Délkové korekce v Křovákově zobrazení dosahují na našem území hodnot –10 až +14 cm na jeden kilometr.

Obrázek 6.41. obr. 6.39 – Průběh délkového zkreslení v Křovákově zobrazení [45]

Převod do roviny Gaussova zobrazení

V Gaussově zobrazení je zkreslení funkcí dvou proměnných a vzorec (8) se upravuje na tvar:

Vzorec (9) postačí pro délky do 60 km. Pro strany do 20 km pak lze zanedbat třetí člen a používat vzorec:

Délkové korekce v Gaussově zobrazení dosahují na našem území maximálních hodnot ± 57 cm na jeden kilometr na okraji šestistupňového pásu a ±14 cm na jeden kilometr na okraji třístupňového pásu.

Obrázek 6.42. obr. 6.40 – Průběh délkového zkreslení v Gaussově zobrazení [5]

Velmi podrobný výklad této problematiky lze nalézt v [4].

Pojem topografická redukce značí centraci excentricky zaměřených délek. Předpokládáme, že excentricky zaměřená délka je již matematicky redukována. Vlastní řešení pak již spočívá pouze v řešení vztahů v rovinných trojúhelnících.

Jednostranná centrace délky s úhlem ψ měřeným na centru

Měřena je excentrická délka

(excentrická délka opravená o matematické redukce), excentricita e a úhel ψ.

Určujeme centrickou délku

Obrázek 6.43. obr. 6.41 - Jednostranná centrace délky s úhlem měřeným na centru [1]

Centrická délka

se vypočte ze vzorce

Jednostranná centrace délky s úhlem ε měřeným na excentru

Měřena je excentrická délka

(excentrická délka opravená o matematické redukce), excentricita e a úhel ε.

Určujeme centrickou délku

Obrázek 6.44. obr. 6.42 - Jednostranná centrace délky s úhlem měřeným na excentru [1]

Centrická délka

se vypočte z kosinové věty pro stranu podle vzorce

Oboustranná centrace délky s úhly měřenými na excentrických stanoviskách

Měřeny jsou excentrická délka

(excentrická délka opravená o matematické redukce), excentricity e₁ a e₂ a úhly ψ_ei a ψ_ej.

Určujeme centrickou délku

Obrázek 6.45. obr. 6.43 - Oboustranná centrace délky s úhly měřenými na excentrických stanoviskách [1]

Zavedeme místní souřadnicovou soustavu s počátkem v bodě E_i a osou y´ vloženou do směru strany

Nejprve určíme směrníky

Úlohou rajonu (viz kapitola Souřadnicové výpočty) určíme souřadnice

ze kterých určíme centrickou délku

podle vzorce