Tvorby křivosti povrchů

Václav VOBORA /A02179/

Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta aplikovaných věd

prosinec 2006


Obsah

Úvod
Morfometrické analýzy georeliéfu
Teoretická část - vybrané charakteristiky
Gradient
Sklon svahu
Orientace svahu
Normálová křivost
Horizontální křivost
Klasifikace bodů
Geometrické formy georeliéfu
Možnosti v ArcGIS
Princip výpočtu
Toolkit curvature
Možnosti v GRASS
Způsoby výpočtu
Modul r.slope.aspect
Modul v.surf.rst
Modul r.param.scale
Modul r.resamp.rst
Další nástroje
Závěr
Reference

Abstrakt

Tento referát se zabývá tvorbou křivostí povrchů. Na začátku je krátký úvod do teorie křivostí a dalších morfometrických charakteristik. V další části bude porovnání tvorby křivostí povrchů v systémech ArcGIS a GRASS. U každého systému bude popsán princip a také možnosti výpočtu.

Úvod

Základem pro vytváření povrchů křivostí je digitální model terénu (DMT). V první části je stručný teoretický úvod, jak se počítají vybrané morfometrické charakteristiky. Jde jen o připomenutí nejdůležitějších pojmů a vztahů. Vše uvedeno bez důkazů. Podrobnější teoretické informace o morfometrických analýzách jsou uvedeny v [krcho90] včetně odvození a důkazů. V dalších částech jsou popsány jednotlivé možnosti výpočtu v systému ArcGIS a GRASS GIS. Na závěr jsou oba systémy porovnány.

Morfometrické analýzy georeliéfu

Základní parametry pro morfometrické analýzu povrchu uvedené v [krcho90] jsou:

  • sklon ve směru spádové křivky (\gamma_n)

  • orientace (A_n)

  • normálová křivost (\omega)

  • horizontální křivost (K_r)

Kromě dvou uvedených křivostí existují ještě další. Ty si uvedeme později. Nás nejvíce na povrchu zajímají křivky tzv. ortogonální sítě, to jsou jen vrstevnice a spádnice. Právě ve směru těchto křivek probíhají procesy modelující georeliéf. Na konvexních formách ve směru spádnic probíhají erozní procesy, zatímco na konkávních formách probíhají akumulační procesy svahové modelace. Právě pro tyto procesy je důležité hodnota sklonu svahu \gamma_n, stejně jako orientace reliéfu vůči světovým stranám. Kvůli tomu má normálová křivost ve směru spádnic a normálová křivost ve směru tečen k vrstevnicím mimořádný význam z hlediska charakteristiky a režimů procesů svahové modelace.

Parametry pro popis topografických ploch jako sklon, orientace svahu, křivosti se počítají na základě diferenciální geometrie.

Teoretická část - vybrané charakteristiky

Povrch georeliéfu budeme brát jako funkci dvou proměnných

kde x, y jsou prostorové souřadnice. Je to vlastně matematický model skutečného georeliéfu. Tato funkce je spojitá. V praxi se používá digitálního modelu terénu a ten je diskrétní (povrch je tvořen buňkami konečné velikosti). Rovnice vrstevnic reliéfu se vyjádří ve tvaru

kde parametr C se pohybuje v intervalu nejvyšší a nejnižší výšky v oblasti.

Nejprve si pro naše účely zavedeme následující označení pro první a druhé derivace podle x a y a ještě derivaci smíšenou. První derivace si označíme

druhé derivace a smíšenou takto

Tečná rovina je určená souřadnicemi vektoru normály a úhlem, který svírá tečná rovina k topografické ploše v bodě A(x,y) s rovinou rovnoběžnou s rovinou (x,y). Je to stejný úhel jako sklon svahu, tedy úhel \gamma_n. Ten svírá normála s jednotkovým vektorem k ve směru osy z. Vše je dobře vidět na obrázku (1).

Obrázek 1. Situace na povrchu v bodě A(x,y) (převzato z [krcho90])

Situace na povrchu v bodě A(x,y) (převzato z [krcho90])

V následujících sekci si objasníme pojmy jako gradient (je velmi důležitý pro další výpočty), sklonu svahu, orientace svahu, normálové a horizontální křivosti a další. Nakonec ještě popíšeme geometrické formy.

Gradient

Gradient funkce f = f(x,y) je definovaný v každém bodě A(x,y), má směr normály k vrstevnici a je orientovaný ve směru růstu funkce f. Jeho souřadnice jsou parciální derivace f_x a f_y v bodě A(x,y)

má velikost

Gradient je vždy orientovaný ve směru normály k vrstevnici

kde hodnoty f_x a f_y jsou parciální derivace.

Vektor n_0, jednotkový vektor ve směru gradientu získáme jako

kde i a j jsou jednotkové vektory ve směrech os x a y. Protože platí pro velikost |n_0| = 1 tak derivace dx/dn a dy/dn jsou zároveň směrovými kosiny.

Tyto dva úhly svírají v rovině (x,y) jednotkový vektor |n_0| s jednotkovými vektory i a j.

Mějme bod A(x,y) kterým plynule prochází jedna vrstevnice a spádnice. V tomto bodě uvažujme jednotkový vektor normály N_0 = (n_x,n_y,n_z). Je orientovaný na vnější stranu topografické plochy. Vzhledem k faktu, že |N_0| = 1, pro jeho souřadnice n_x, n_y a n_z platí vztahy

Úhly \alpha, \beta a \gamma svírají jednotkový vektor N_0 s jednotkovými vektory i, j, k souřadnicového systému ve směru os. Jednotkový vektor i určuje kladný směr osy x a je orientovaný k jihu, j určuje kladný směr k ose y a je orientovaný k východu a nakonec vektor k určuje kladný směr osy z a je orientovaný k zenitu. Tyto úhly jsou vidět na obrázku 1.

Sklon svahu

Nejprve si zadefinujeme úhel sklonu topografické plochy ve směru spádnic. Úhlem sklonu (angl. slope) v libovolném bodě je A(x,y) ve směru spádnicové křivky je úhel, který svírá tečnou rovinu k ploše a rovinou rovnoběžnou s rovinou (x,y) v tomto bodě.

Označíme si n' jako svislý průmět do vektoru N_0 do roviny (x,y). Pro tento průmět platí

Přitom absolutní hodnota n' je ve tvaru

Pomocí vektoru n' získáme vektor G, tak že

a absolutní hodnota tohoto vektoru má hodnotu

Vektor G má hodnotu stejnou jako hodnota gradientu ale v opačném směru

a vzhledem k tomu, že platí |-grad f| = |grad f| můžeme napsat vektor G jako

S použitím inverzí funkce tangens můžeme napsat konečný vztah pro výpočet sklonu svahu

Sklon svahu se může udávat buď ve stupních nebo v procentech. Sklon úhlu svahu řídí rychlosti materiálu, který se pohybuje ve směru spádnice.

Orientace svahu

Orientace svahu (angl. aspect) představuje orientaci povrchu vůči světovým stranám. Vyjadřuje se ve stupních v rozsahu 0-360 stupňů. Hodnota 90 je západ, 180 jih, 270 západ a 360 východ. Orientace není definována v tzv. singulárních bodech, co jsou např. vrcholy, díry, sedla.

Směr jednotkového vektoru n' v rovině (x,y), který byl popsán v předchozí sekci, je možné vyjádřit na základě jeho souřadnic gradientu úhlem A_n. Pro tento úhel platí

Odtud můžeme vyjádřit A_n pomocí funkce tangens jako

Tento úhel A_n v bodě A(x,y) je funkcí polohy.

Tímto úhlem v souřadnicové soustavě je určená orientace topografické plochy georeliéfu vůči světovým stranám. Pokud budeme uvažovat proměnný parametr K, potom získáme rovnice izočár stejné orientace a budou mít tvar

kde K je pro každou izočáru konstanta. K má hodnotu

Všechny body na každé izočáře budou mít vektor gradientu příslušný konstantní směr, ale bude se měnit velikost |grad f|.

Normálová křivost

Křivost normálového řezu ve směru tečny ke každé křivce je dána vztahem

Rovnice 1.

přitom m = f_y/f_x = tg \alpha je parametr, který se mění pro směrový úhel \alpha.

Pokud parametr m nahradíme n, bude mít ve směru tečny k vrstevnici hodnotu

Pokud tento vztah dosadíme za parametr m do rovnice (1) dostaneme vztah pro normálovou křivost

Jmenovatel

nahradíme tímto výrazem

získáme výsledný tvar rovnice pro normálovou křivost (častěji se označuje jako \omega)

Zjednodušeně je možné říci, že normálovou křivostí se rozumí křivost normálového řezu bodě A(x,y) jako průsečnici plochy s rovinou obsahující normálu N k topografické ploše a tečny n ke spádnici, tak že rovina řezu je kolmá na tečnou rovinu k topografické ploše v daném bodě A(x,y).

Právě s pomocí hodnoty normálové křivosti můžeme charakterizovat jednotlivé morfometrické formy georeliéfu. Tyto formy jsou od sebe odděleny inflexními body s \omega = 0. Pokud je \omega > 0, pak forma je konvexní (vypouklá) a pokud \omega = K_n < 0, tak je forma konkávní (dutá).

Pro úplnost musíme ještě připomenout, že platí

kde R_\omega je poloměr normálové křivosti. Tímto poloměrem je v bodě A(x,y) je opsaná kružnice normálové křivosti se středem na normále N. Kružnice leží v rovině normálového řezu, viz. obrázek (2).

Obrázek 2. Normálová křivost povrchu (převzato z [krcho90]).

Normálová křivost povrchu (převzato z [krcho90]).

Povrch lze samozřejmě vyjádřit pomocí izočár křivostí. Pokud budeme \omega brát jako proměnný parametr tak pro \omega > 0 nazveme izočáry normálové izokonvexy, pro \omega < 0 normálové izokonkávy a pro \omega = 0 izočárou nulové normálové křivosti. Právě ta poslední izočára nám ukazuje, kde jsou hranice forem.

Horizontální křivost

Poloměr horizontální křivost R_k je svislým průmětem poloměru normálové křivosti do roviny horizontálního řezu. A tak je poloměr kružnice vrstevnice R_k je vzhledem na velikost poloměru R_n ležícího v normále určený vztahem

Tedy platí pro

Ve vyjádření parciálních derivací má vztah pro horizontální křivost tento tvar:

Obrázek 3. Horizontální křivost povrchu (převzato z [krcho90]).

Horizontální křivost povrchu (převzato z [krcho90]).

Tato křivost nabývá kladných a záporných hodnot a jsou prostorově stejně rozložené v rovině (x,y). Jen se liší velikostí závislosti od úhlu sklonu \gamma_n. Hodnota horizontální křivosti se mění na základě hodnot x a y, tím pádem je funkcí polohy. Podobně jako u normálových křivostí jsou horizontální formy reliéfu konvexní tam, kde K_r > 0 a konkávní, kde K_r < 0. Kružnice křivosti má jeden konstantní poloměr jako převrácenou hodnotu R_k. V konvexních formách leží kružnice křivosti na vnitřní straně a u konkávních formách na vnější straně. Situace je na obrázku (3).

Klasifikace bodů

V diferenciální geometrii se body povrchu rozdělují do třech skupin. Budeme povrch aproximovat pomocí kvadratické funkce dvou proměnných, jak je uvedeno v [wood96]. Tato funkce má tvar

Rovnice 2.

a může být přepsána do tvaru obecné kuželosečky

kde h = a_3/2, j = a_4/2, k = a_5/2 a m = a_6 - f(x,y).

Teď pomocí koeficientů a, b a h můžeme klasifikovat body.

  • pokud (ab - h^2) > 0 pak bod je eliptický

  • pokud (ab - h^2) = 0 pak bod je parabolický bod

  • pokud (ab - h^2) < 0 pak bod je hyperbolický bod

Tyto body odpovídají také morfometrickým formách a mohou být samozřejmě využity k identifikování procesů. Vrstevnice povrchu odpovídajících výše uvedeným bodů jsou příslušné kuželosečky. Eliptické body reprezentují vrcholy a díry, parabolické příkopy a hřebeny a nakonec hyperbolické body odpovídají průsmykům (sedlům). Pro účely morfometrie se parametry určují řešením parciálních diferenciálních rovnic obecných kvadratických forem.

Geometrické formy georeliéfu

Obě dvě křivosti, které jsme výše popsali jsou základem pro vymezení geometrických forem georeliéfu. Na základě normálové a horizontální křivosti je můžeme vyjádřit geometrické tvary v libovolném bodě A(x,y). Klasifikaci provedeme podle znamének křivostí do čtyř následujících skupin.

  • (\omega > 0, K_r > 0) -- konvexně - konvexní formy F_xx

  • (\omega < 0, K_r > 0) -- konkávně - konvexní formy F_kx

  • (\omega < 0, K_r < 0) -- konkávně - konkávní formy F_kk

  • (\omega > 0, K_r < 0) -- konvexně - konkávní formy F_xk

Tyto jsou formy pouze základní. Kromě těchto můžeme také jednoznačně klasifikovat geometrické formy pro nulové hodnoty \omega = 0 a K_r = 0.

  • (\omega > 0, K_r = 0) -- konvexně - lineární formy F_xl

  • (\omega = 0, K_r > 0) -- lineárně - konvexní formy F_lx

  • (\omega < 0, K_r = 0) -- konkávně - lineární formy F_kl

  • (\omega = 0, K_r < 0) -- lineárněi - konkávní formy F_lk

  • (\omega = 0, K_r = 0) -- lineárně - lineární formy F_ll

Každou z prvních čtyřech geometrických forem je ještě možné dále dělit podle hodnot křivostí do několika skupin, ale to je blíže popsáno v [krcho90]. Základní čtyři formy jsou typické hlavně pro přírodní formy. Jen lineární - lineární formy se v přírodě prakticky nevyskytují. V některých případech se vyskytují, ale hodnoty \omega a K_r se blíží k nule. Naopak těch poslední pět forem vzniká výhradně antropogenní činností (tzn. lidskou činností).

V morfometrii se ještě používají další dvě křivosti, které jsou jen kombinací obou dvou. Je to jednak celková morfometrická křivost georeliéfu |R| a celková křivost R'. Celková morfometrická křivost je vyjádřená vztahem

a pro celkovou křivost R' platí vztah

Tato křivost je obdoba Gaussovy křivosti, která je v diferenciální geometrie daná také součinem křivostí hlavních směrech.

Celkové křivosti R' také nabývají kladných a záporných hodnot. Pro kladné hodnoty R' nabývá v konvexních formách F_xx a zároveň v konkávních formách F_kk. Těm odpovídají eliptické body. Naopak pro záporné hodnoty R' < 0 nabývá konkávně - konvexních formách F_kx a konvexně - konkávních F_xk v odpovídajících hyperbolických bodech. Nulové hodnoty R' jsou křivosti v bodech nulových normálových a horizontálních křivostí (\omega = 0 a K_r = 0). Žádná z izočar pro R' > 0 a R' < 0 nikde neprotíná izočáry pro křivosti \omega = 0 a K = 0.

Právě celková křivost společně s \omega a K_r má v morfometrických analýzách velký význam. Kromě procesů svahové modelace také dávají informace o prostorové diferenciaci geoekologických procesů. Mezi dalšími mají význam např. pro studium hydrotermického režimu georeliéfu. Další popisy použití jsou uvedeny v [krcho90].

Možnosti v ArcGIS

V ArcGIS se používají sady nástrojů pro analýzu povrchů (angl. Surface Analysis). Součástí toho jsou dva toolboxy Spatial analysis a 3D - Analyst. Nástroj pro výpočet křivostí se nachází ve 3D - Analystu pod názvem Curvature. Informace o tom, jak se počítají křivosti jsou uvedeny v [hcw] a [curvature].

Princip výpočtu

Křivost se v ArcGIS vypočítá na základě okolních bodů v 8 - okolí. Povrch se aproximuje kvadratickou funkcí dvou proměnných.

Rovnice 3.

Pro každou buňku vypočítáme aproximaci funkce podle rovnice (3). Koeficienty A, B a C jsou vypočítány přímo z povrchu. Vztah mezi koeficienty a osmi buňkami okolí povrchu je vidět na obrázku (4). Hodnoty jednotlivých koeficientů se vypočítají pomocí poměrně složitých vztahů.

Hodnota L je vzdálenost mezi buňkami. Výstupem nástroje pro výpočet křivostí je druhá derivace povrchu. Křivost pro každou buňku se získá ze vztahu

Tento postup výpočtu je popsán v [hcw] v sekci How Curvature works.

Obrázek 4. Způsob aproximace povrchu pomocí okolí (převzato z [hcw]).

Způsob aproximace povrchu pomocí okolí (převzato z [hcw]).

Toolkit curvature

Nástroj vypočítá curvature (křivost) povrchu. Bohužel o této křivosti nejsou nikde v [hcw] podrobnější informace. Jako volitelné výstupní parametry mohou být definovány profile curvature a plan curvature.

  • Input raster = 'elev\_rast'

  • Output raster = 'curv\_rastr'

  • Z factor: 1

  • Output profile curve raster = 'profile\_rast'

  • Output plan curve raster = 'plan\_rast'

Profile curve raster je rastr normálových křivostí ve směru spádnice a plan curve raster je rastr horizontálních křivostí. Parametr Z faktor určuje kolikrát bude zvětšena z souřadnice (tedy výšky). Používá se např. při převodech mezi jednotkami výšek. Tento příklad použití tohoto nástroje je uveden v [hcw].

Profile křivost je ve směru maximálního sklonu a normálové je kolmá na směr maximálního sklonu. Kladná hodnota křivost určuje povrch, který je konvexní, zatímco záporná křivost je znakem konkávního povrchu v buňce. Hodnota nula je rovná plocha. To samé platí také pro všechny ostatní křivosti. Pokud se hodnoty pohybují od -0,5 do 0,5, tak je povrch kopcovitý (pahorkatina). Pro prudké svahy se hodnoty mohou pohybovat od -4 do 4.

Výstupem z tohoto nástroje může být použit pro popis fyzikálních charakteristik povodí, ke studiu eroze a odtoků vody. Sklon svahů má za důsledek hodnotu rychlosti pohybu materiálu nebo vody a orientace svahů zase směr odtoku. Normálová křivost má vliv na rychlost odtoku (zrychlování a zpomalování), tedy vliv eroze a usazování. Horizontální křivost zase působí konvergenci a divergenci odtoku.

Možnosti v GRASS

Pro tvorbu povrchů se v GRASS používají moduly, které interpolují DMT z bodových dat. Tyto data jsou získána jinými metodami. Moduly používají speciální algoritmy jako např. IWD (Inverse Distance Weight Average Interpolation), interpolace využívající nepravidelné trojúhelníkové sítě (TIN) a geostatistické metody (Kriging).

GRASS počítá k derivaci podle x ve směru východ - západ a podle y ve směru sever - jih. Samozřejmě to platí také pro druhé derivace. Všechny následující metody výpočtů jsou popsány v knize [mitasova05] a v článku [mithof93].

Způsoby výpočtu

V GRASS jsou křivosti určovány následujícími způsoby. K výpočtu povrchu normálové křivosti se používá následující vztah

kde hodnota p = \sqrt{f^2_x + f^2_y} a q = p + 1. V [mitasova05] se uvádí pro tuto křivost termín profile curvature a používá se toto označení. Rovnice pro výpočet povrchu horizontální křivosti má následující tvar.

Tato křivost je nazvána plan curvature. Druhé derivace povrchu se počítají s využitím 3x3 okolí. Využije se Hornova vzorce, aproximuje se povrch pomocí kvadratické funkce dvou proměnných

Musíme odvodit koeficienty této funkce tak, aby co nejlépe odpovídaly proložení této funkce do 9 bodů (3x3 okolí). Koeficienty odpovídají parciálním derivacím (f_x = a_1, f_y = a_2, f_xx = 2 a_4, f_yy = 2 a_5, f_xy = a_3).

Označíme D(x,\delta) = f_{x,y+1} - 2 f_{x,y} + f_{x,y+1} a D(x,\delta) = f_{x+1,y} - 2 f_{x,y} + f_{x-1,y}. A druhé derivace můžeme získat takto

Označení f_{x,y} znamená výšku v bodě x a y, \Delta x a \Delta y jsou velikosti buňky (rozlišení) ve směru východ-západ a sever-jih. Derivace a křivosti se ve všech dále zmíněných modulů se počítají tímto postupem, který jsme si popsali v této sekci.

Modul r.slope.aspect

Je to nezákladnější modul pro analýzy povrchů. Vypočítá povrchy, jak už napovídá název, sklonu a orientace svahu, pak normálovou a horizontální křivost a první a druhé derivace včetně smíšené.

Použití modulu: vstupní a výstupní parametry. U tohoto a dalších modulů si popisovat pouze ty parametry, které nás zajímají.

r.slope.aspect [-aq] elevation=string [slope=string] [format=string] [prec=string] [aspect=string] [pcurv=string] [tcurv=string] [dx=string] [dy=string] [dxx=string] [dyy=string] [dxy=string] [zfactor=float] [min_slp_allowed=float]

Normálová křivost je ve výstupních parametrech označena jako pcurv a horizontální jako tcurv. Bližší informace o použití tohoto ale dalších modulů je možné nalézt v [grass06].

Modul v.surf.rst

Tento modul primárně vygeneruje, jak už napovídá název, z vektorové vrstvy digitální model terénu. Využívá u k tomu spline funkci pod napětím (angl. regularized spline with tension - RST). Hodnoty výšek se berou z atributové tabulky u vrstevnic. Dále vypočítá hodnoty sklonu a orientace svahu, normálovou, horizontální a střední křivost. Ta je označovaná jako mean curvature. Podle nápovědy příkazu to není nic jiného než druhá derivace podle x a y. Modul také je schopen vytvořit první a druhé derivace povrchu.

Použití modulu: vstupní a výstupní parametry.

v.surf.rst [-dtv] input=string [layer=integer] [zcolumn=string] [scolumn=string] [dmax=float] [dmin=float] [devi=string] [cvdev=string] [elev=string] [slope=string] [aspect=string] [pcurv=string] [tcurv=string] [mcurv=string] [maskmap=string] [zmult=float] [tension=float] [smooth=float] [segmax=integer] [npmin=integer] [theta=float] [scalex=float] [treefile=string] [overfile=string]

Křivosti jako výstupní parametry jsou označeny stejně jako v předchozím případě.

Modul r.param.scale

Modul modul r.param.scale získá morfometrické parametry z digitálního modelu terénu. Snaží se povrchem proložit funkci dvou proměnných, rovnice (2). K výpočtu koeficientů používá metodu nejmenších čtverců. K tomu využívá okno o velikosti od 3 do 69 (musí být vždy liché číslo). To určuje jaké okolí se do výpočtu zahrne. Požadovaný morfometrický parametr se zadává jako string k výstupnímu parametru param. V následujícím seznamu jsou vypsány všechny možné parametry.

  • elev - zjednodušený model terénu (pro účely převzorkování)

  • slope - velikost maximálního gradientu

  • aspect - směr maximálního gradientu

  • profc - normálová křivost

  • planc - horizontální křivost

  • longc - podélná křivost (angl. longitudinal)

  • crosc - křivost příčného řezu (angl. cross-sectional)

  • maxic - minimální křivost

  • minic - maximální křivost

  • feature - morfometrické prvky (vrcholy, hřebeny, průsmyky, údolí, díry a roviny)

V tomto modulu se na rozdíl od ostatních modulů počítá maximální a minimální křivosti v hlavních směrech, příčná křivost (angl. cross-sectional) a podélná křivost (angl. longitudinal). Tyto implementované křivosti jsou uvedeny v [wood96]. Tam je také podrobně popsán princip celého výpočtu v tomto modulu, zejména aproximace povrchu kvadratickou funkcí pomocí okolí. Křivosti se počítají na základě koeficientů funkce. Označení těchto křivostí použijeme stejné jako pro parametr param v tomto modulu. Maximální křivost maxic se vypočítá jako

a minimální

Koeficienty aproximační funkce se počítají zvlášť pro každou buňku.

Pro podélnou křivost je použit vztah

a křivost příčného řezu

Způsob, jak je povrch parametrizován kvadratickou funkcí je podrobně popsán v [wood96] v kapitole 4.4.1 názvem Approaches to multi - scale parameterisation. Zjednodušeně je možné říci, že se koeficienty počítají z určitého okolí buňky (velikost okolí musí být lichá).

Použití modulu: vstupní a výstupní parametry.

r.param.scale [-c] input=name output=name [s_tol=float] [c_tol=float] [size=integer] [param=string] [exp=float] [zscale=float]

Ještě pro výpočty křivostí je důležitý vstupní parametr c_tol. Ten určuje toleranci, pro jakou hodnotu křivostí je brán povrch jako rovina. Předem nastavená je hodnota 0,0001.

Modul r.resamp.rst

Modul r.resamp.rst se používá pro převzorkování rastru. To znamená, že se mění velikost a rozlišení rastru. Pro interpolaci využívá již výše zmíněnou metodu pomocí spline funkce pod napětím (RST). Podobně jako moduly v.surf.rst a r.param.scale rovnou vypočítá volitelně křivosti a samozřejmě samotný digitální model terénu. Jsou to všechny parametry, které také počítají další moduly.

r.resamp.rst [-dt] input=string ew_res=float ns_res=float [elev=string] [slope=string] [aspect=string] [pcurv=string] [tcurv=string] [mcurv=string] [smooth=string] [maskmap=string] [overlap=integer] [zmult=float] [tension=float] [theta=float] [scalex=float]}

Další nástroje

Ještě pro úplnost je nutné uvést modul v.vol.rst. Ten interpoluje vektorová bodová data do volumetrických dat (3D dat - objevují se od verze 6.0) pomocí RST algoritmu. Počítá samozřejmě různé parametry včetně křivostí. Ale to již přesahuje rozsah tohoto textu. Bližší informace o tomto modulu jsou na manuálové stránce [grass06].

Závěr

Oba systémy poskytují možnosti, jak počítat křivosti. Ve srovnání má GRASS mnohem více nástrojů pro analýzu rastrových dat než ArcGIS. Některé křivosti jsou dokonce implementované ve více modulech. Nejvíce možností pro uživatele poskytuje modul primárně určený pro analýzy povrchů r.param.scale. Ten je schopen vygenerovat až šest povrchů křivostí, zatímco ArcGIS v svém jednom nástroji (Curvature) schopen vytvořit pouze základní křivosti (normálovou a horizontální) a jejich kombinaci (střední). Tedy pro morfometrickou analýzu digitálního modelu terénu se jeví jako nejvýhodnější GRASS.

Reference

[krcho90] J. Krcho. Morfometrická analýza a digitálne modely georeliéfu. Slovenská akadémia vied, Bratislava. 1990.

[mitasova05] Markus Neteler . Open Source GIS - A GRASS GIS Approach. Kluwer Academic Publishers/Springer, Boston. 2005.

[wood96] J. D. Wood. The geomorphological characterisation of digital elevation models. URL: http://www.soi.city.ac.uk/~jwo/phd. University of Leicester, UK. 1996.

[grass06] . GRASS GIS Software. URL: http://grass.itc.it. Trento, Italy. 2006.

[mithof93] H. Mitášová. Interpolation by Regularized Spline with Tension. URL: http://skagit.meas.ncsu.edu/~helena/gmslab/papers/hmg.rev1.pdf. Published in Mathematical Geology, Vol 25, No.6, p. 657 - 669. 1993.

[culej04] O. Čulej. Operačné možnosti geografickej bázy údajov komplexného digitálneho modelu reliéfu v geografických informačných systémoch. URL: http://joe.fns.uniba.sk/prace/culo/KDMR.htm. Univerzita Komenského v Bratislavě. 2004.

[hcw] . ArcGIS Desktop Help: How Curvature works. URL: http://webhelp.esri.com/arcgisdesktop/9.1/index.cfm?TopicName=How%20Curvature%20works. ESRI. 2005.

[curvature] . ArcGIS Desktop Help: Curvature. URL: http://webhelp.esri.com/arcgisdesktop/9.1/index.cfm?id=3427&pid=3420&topicname=Curvature. ESRI. 2005.

[jezek05] F. Ježek. Diferenciální geometrie. URL: http://www.kma.zcu.cz/0000_DATA/eBOOKs/Jezek/2005_DG_jezek.zip. Západočeská univerzita v Plzni. 2005.